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D题 接触式轮廓仪的自动标注
轮廓仪是一种两坐标测量仪器（见图1），它由工作平台、夹具、被测工件、探针、传感器和伺服驱动等部件组成（见图2）。
图1 某种型号的接触式轮廓仪 图2 接触式轮廓仪的示意图
接触式轮廓仪的工作原理是，探针接触到被测工件表面并匀速滑行，传感器感受到被测表面的几何变化，在X和Z方向分别采样，并转换成电信号。该电信号经放大等处理，转换成数字信号储存在数据文件中（见图3）。
(a) 接触式轮廓仪测量示意图 (b) 数据文件中的数字信号
图3 接触式轮廓仪的工作原理
在理想状况下，轮廓曲线应该是光滑的，但由于接触式轮廓仪存在探针沾污、探针缺陷、扫描位置不准等问题，检测到的轮廓曲线呈现出粗糙不平的情况（见图3(b)中的局部放大图），这给工件形状的准确标注带来影响。
为了简化问题，假设被测工件的轮廓线是由直线和圆弧构成的平面曲线（见图4）。请建立数学模型，并根据附件1（工件1的水平和倾斜测量数据）、附件2～附件4（工件2的多次测量数据）所提供的轮廓仪测量数据，研究下列问题：
问题1．附件1中的表level是工件1在水平状态下的测量数据，其轮廓线如图4所示，请标注出轮廓线的各项参数值：槽口宽度（如
等）、圆弧半径（如
等）、圆心之间的距离（如
等）、圆弧的长度、水平线段的长度（如
等）、斜线线段的长度、斜线与水平线之间的夹角（如
等）和人字形线的高度（
）。
图4 工件1在水平状态下测量的轮廓线
问题2．同一工件在不同次测量时，由于工件放置的角度和位置不同，轮廓线参数的计算值也会存在差异。附件1中的表down给出了工件1在倾斜一个角度和有一些水平位移状态下轮廓线的测量数据。请计算该工件测量时的倾斜角度，并作水平校正。在数据校正后，完成问题1的任务，并比较两种测量状态下工件1各项参数计算值之间的差异。
问题3．在对工件作多次检测时，工件每次放置的角度、测量的起点和终点都会有偏差，这导致了每次测量实际是对整个工件中的某一部分进行检测。附件2提供了对工件2的10次测量数据，请基于这些数据完成：(1) 每次测量时工件2的倾斜角度；(2) 标注出工件2轮廓线的各项参数值（同问题1）；(3) 画出工件2的完整轮廓线。
问题4．为了更准确地标注出工件2的各项参数值，附件3和附件4分别提供了工件2关于圆和角的9次局部测量数据，请利用这些数据修正问题3的结论，并对该工件的完整轮廓线作进一步修正。
E题 校园供水系统智能管理
校园供水系统是校园公用设施的重要组成部分，学校为了保障校园供水系统的正常运行需要投入大量的人力、物力和财力。随着科学技术的发展，校园内已经普遍使用了智能水表，从而可以获得大量的实时供水系统运行数据。后勤部门希望基于这些数据，通过数学建模和数据挖掘及时发现和解决供水系统中存在的问题，提高校园服务和管理水平。
附件是某校区水表层级关系以及所有水表四个季度的读数(以一定时间为间隔，如15分钟)与相应的用水数据。请利用这些信息和数据，建立数学模型，讨论以下问题：
1. 统计、分析各个水表数据的变化规律，并给出校园内不同功能区（宿舍、教学楼、办公楼、食堂等）的用水特征。
2. 结合校区水表层级关系，建立水表数据之间的关系模型，并利用已有数据分析模型误差。
3. 输水管网的漏损是一个严重问题。资料显示，在维护良好的公共供水网络中，平均失水在5%左右；而在比较老旧的管网中，失水则会更多。请利用附件提供的数据，建立数学模型，分析该校园供水管网的漏损情况。
4. 地下水管暗漏不容易被发现，需要花费大量人力对供水管道的漏损进行检测及定位，如果能够从水表的实时数据及时发现并确定发生漏损的位置，将极为有益。请帮助学校解决这个问题。
5. 管网维修需要一定的人工费和材料费，但同时可以降低管网漏损程度。请根据以上结果和你了解的水价及维修成本确定管网漏损的最优维修决策方案。
